ここでは重力の話をします。重力と言っても、ここで扱うのはニュートン重力と呼ばれる、ニュートン力学に登場するものです。この他にはアインシュタインの一般相対性理論に登場するアインシュタイン重力等があります。高校や大学の１年次までに習う重力はニュートン重力だと思ってよいかと思います。ニュートン重力はアインシュタイン重力の特殊な場合になっていて、ニュートン重力はアインシュタイン重力に含まれています。今回はニュートン重力のみを説明します。

ニュートン重力はとても単純です。質量と質量の物体があればその間に引力が働きます。ニュートンの第３法則の作用・反作用の法則から、各物体に働く力は向きが逆方向で、大きさは物体間の距離をとして次のように書くことができます。

ここでは重力定数と呼ばれるもので値が決まっています。この細かい値が重要になることはあまりないので、ここでは触れません。ニュートン重力の中の比例定数であることを覚えておくだけでよいと思います。

ここではさらに重力ポテンシャルというものを考えましょう。質量の物体があれは、その周りに重力ポテンシャルができるのですが、これは物体の周りの空間の歪みとして見なすことができます。歪んだ空間に物体がやってくると、その歪みに引きずられて物体の運動が変化しますが、これが重力の正体であると考えるのです。重力ポテンシャルを用いて、質量の物体から距離にある質量の物体に働く重力の大きさは次のように書くことができます。

この式からが

の形であれば、ニュートン重力の式が導かれることが分かります。

質量の物体の周りには

という重力ポテンシャルが生じます。

荷電粒子に働く力について説明します。家電粒子とは電荷を持った粒子です。例えば陽子、電子はそれぞれプラス、マイナスの電荷を持った荷電粒子です。荷電粒子には、電場磁場の下で力が働きます。ここではこれを説明します。

ある粒子が電荷を持っていたとします。ここではプラス、マイナスどちらでも構いません。この粒子が、電場や磁場の下を速度で運動している状況を考えます。電場や磁場はベクトル量で、大きさと向きを持っており、やはそれを表しています。

この時にこの粒子が受ける力は次のように書くことができます。

右辺の第１項目が電場から受ける力、第２項目が磁場から受ける力です。電場から受ける力は電場と同じ向きに働きます。磁場から受ける力はローレンツ力とも呼ばれ、粒子の速度と磁場の外積で書かれます。これはいわゆる”フレミングの左手の法則”というものになっています。左手の中指から”電”"磁”"力”という覚え方が有名かと思いますが、電は電流を、磁は磁場を、力は粒子に働く力を表します。電流と磁場の方向とは垂直な方向に力が働くことになっていましたが、これは外積を表しています。ここでは電荷を持った粒子の運動、すなわち電流を表します。普段私たちが電流と言っているのは”電子”の運動のことです。

もしも外積の向きの定義が曖昧になってしまったら、フレミングの左手の法則を思い出してみればいいと思います。ここで念のため確認しておきましょう。
ローレンツ力の向きは、電流の方向から磁場の方向へ右ねじを回した時のねじの向きになっています。

ここでは保存力について話をします。
保存力というのは、次の式のように書ける力のことです。

ここでというのは場所の関数、空間の各点に値を持つ関数です。”ポテンシャル”とも呼ばれます。”grad”は偏微分なのですが、関数に作用させて次のようになります。

このような形に書ける力を保存力といいます。

保存力の書き方、または”grad”の書き方には様々なものがあって、
または
などとも書かれます。

保存という言葉の意味なのですが、これはエネルギーの保存を表します。ここで逆にエネルギーを保存させない力を考えてみましょう。例えば摩擦力の働いている物体は、運動の過程で運動エネルギーが失われて行ってしまいます。従って物体のエネルギーは保存せず、摩擦力は保存力には該当しません。つまりの形で摩擦力を書くことはできないということです。

ここからは、の形で書ける力の下で、物体のエネルギーが保存するということを示そうと思います。
空間の点からまで、ある粒子が動くとします。にいる時に粒子の持っている運動エネルギーを、の時はとします。”K”は運動エネルギー=kinetic energyの頭文字です。

からに行くまでに粒子が受ける仕事をとすると

となります。これは仕事の定義でもあります。ではこの仕事量を計算しましょう。仕事量は粒子の受ける力の大きさに、その方向に粒子の動いた距離を書けることによって与えられます。すなわち、力とそれに伴う変移との内積で与えられます。今、力によって生じる変移が微小な距離である場合を考えると、この時に粒子なされる仕事量は

と書けます。これをからまで移動する経路に沿って積分したものが、なります。この積分は次のように書かれます。

ここで力が保存力だとすると、保存力の定義から次のように書き換えることができます。

被積分関数のpartial{bf r}とd{bf r}を”約分”することで、これはさらに次のような形に書くことができるようになります。

このような”約分”の操作の正当性は数学的な証明によって保証されます。ここでは詳細には立ち入りません。この結果から

となります。すなわち、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和である”力学的エネルギー”はとにいる時で変わらない、つまり保存しています。これは力が

の形に書けていたからです。

ここで注目すべき点があります。ここで示した結果を見ると、粒子が受ける仕事量はといる時の粒子のポテンシャルエネルギーのみによって決まっており、途中でどのような道筋を辿るかということに依っていません。からへのルートは本来無数にあります。けれども働く力が保存力である場合には、最初の点と最後の点のポテンシャルエネルギーだけによって、その間になされた仕事量が決まってしまうのです。例えば保存力ではない摩擦力が粒子に働いていたとすると、長い道のりを辿るほど、よりたくさんの摩擦力を受けて、粒子の力学的エネルギーは失われて行ってしまいます。

まとめると、保存力の下では
1. 保存力の下では、粒子の力学的エネルギーは保存する。
2. 運動の際になされる仕事は経路に依らない。
となります。

角運動量についての話をします。物体の角運動量はよくを用いて書かれ、位置ベクトルと運動量ベクトルの外積で定義されます。

外積ですので、角運動量の方向は位置ベクトルと運動量ベクトルに直行する方向になります。定義に位置ベクトルが含まれているため、角運動量は原点のとり方が変わると、それに伴って角運動量も変わります。

角運動量についてはその保存則を知っておくと便利です。これを導くには、角運動量の時間変化を計算します。角運動量の定義と、外積の微分の演算を行うことで、

最左辺の第１項目は速度ベクトルと運動量ベクトルの定義からとなり、平行なベクトル同士の外積は0になるので、この項は消えます。また第２項目に運動方程式を用いると、次のような式になります。

すなわち、角運動量の時間変化は、位置ベクトルと力の外積で書けるということです。この位置ベクトルと力の外積を”力のモーメント”などと呼びます。力のモーメントが0の時には角運動量が変化しないことになります。つまり、位置ベクトルと平行な方向に力が働いている場合には力のモーメントが0になって、角運動量は一定になることになります。

例えば、原点に重力の源となる物体があり、その周りを運動する物体を考えます。この場合重力の性質上、位置ベクトルと平行になりますので、常に角運動量が保存することになります。

ここではダランベールの原理について説明します。ダランベールというのは人の名前です。

この原理では、動力学の問題は静力学の問題に帰結できるという原理です。動力学とは、加速度を持っている物体を記述する力学、静力学は加速度を持っていない物体、すなわち”釣り合いの状態”にある物体を記述する力学です。

この２つの力学系における運動方程式は大きく異なっています。動力学における運動方程式は次のように書けます。

今、たくさんの力が働いている場合を考えています。静力学に対しては次のようになります。

動力学の運動方程式と静力学の運動方程式とでは左辺の形が大きく異なっています。

しかしながら、動力学の運動方程式において、左辺を右辺に移項するだけで、静力学の運動方程式と同じ形にすることができます。

このとき移行した項を、一種の力だと解釈して、これを”慣性力”呼びます。このようにすると、動力学の問題を静力学の問題に帰結することができます。

ここまで見ると、単に移行しただけだと思われてしまいますが、これは”動力学と静力学の問題を区別する必要がない”という重要な結論を導きだします。すなわち、動力学の問題はより単純な静力学の問題を解くことに帰結されるということです。

ここでもう一つ重要なことは、”帰結する”という考え方です。つまり、既に解法が分かっている問題に置き換えることができないかと考えることです。物理、数学、あるいはもっと広く科学という営みは、帰結できるかどうか、既に分かっているより簡単な問題に帰結できないかと考えることでもあります。いかにして帰結できるか、という考え方が非常に重要になります。

ダランベールの原理とは、動力学の問題を静力学の問題に帰結できるというこを示すものです。大変便利で有意義な原理です。またこの帰結という考え方が非常に重要な考え方ですので、しっかり頭にとどめておいて頂きたいと思います。

今回はニュートンの法則、運動の３法則とも呼ばれますが、これについて説明します。ニュートン力学はこの３つの法則から全て導かれるといっても過言ではなく、とても重要なものです。

一つ目は慣性の法則です。慣性とは、”力が加わらなければ、物体はそのままの運動を続ける”という性質です。静止している物体は静止したまま、動いている物体は等速直線運動を続けます。物体の運動には、この”慣性”という性質があるといことを言っているのが、この慣性の法則です。何も力が働かないのに、いきなりものが動き出すことはありませんし、何も力が働かなければ、物体はそのままの速度で直進します。物体の運動の方向が曲げられるのは、何かの力が働く時です。

２つ目は、物体の加速度は力に比例、物体の質量に反比例するということです。ここまでの物理でやるように、式で書くとこれは次のように掛けます。

力の単位を適当に合わせると、おなじみの式
あるいは
となります。大学の物理っぽく書き直すと、加速度ベクトルは位置ベクトルの２階微分ですので、

となります。ここで質量が時間変化しないとすると、

となります。すなわち、運動量の時間変化が力に等しいという式になります。大学で扱う物理では、この形の運動方程式をよく用います。こちらの形の方は、例えばロケットのように質量が時間変化してく物体に対しても適用できますし、また特殊相対論で扱う運動方程式もこの運動量を用いた形になっています。運動方程式は英語では Equation of motion と呼び、E.O.Mとも簡略的に書かれます。

このの形の式を見ると、力が0であれば運動量は変化しないことになるので、第２法則は第１法則を含んでいるように見え、第１法則はいらないのではないかと思われる方がいるかもしれません。しかしながら、第２法則は第１法則が成り立つような状況でのみ、成り立ちます。なので第１法則もきちんと必要なのです。

３番目は作用・反作用の法則です。２つの物体A、Bがあって、AがBを引っ張ると、同時にBもAを引っ張るというものです。例えばプラスの電荷を持った粒子がマイナスの電荷を持った粒子を引っ張るのと同じ力で、マイナスの電荷を持った粒子がプラスの電荷を持った粒子を引っ張ります。また、壁をある力で押すと、同じ力で押し返されます。これが作用・反作用の法則です。

ここで重要な点は、第１、第２法則はニュートン力学だけのものなのですが、第３法則の作用・反作用の法則はニュートン力学以外、例えば電磁気学などでも成り立ち、普遍性の強い法則です。しっかりおさえておきましょう。

ここまでで、やはり第１法則と第２法則の違いが分かりにくかったかもしれません。ここで補足します。
慣性の法則は、そもそも”力とは何か”ということを定義していると言えます。慣性の法則は、物体の運動を変化させるものなのだと言っています。この辺りはいろいろ調べてみると歴史的な背景等が分かって面白いと思います。現実問題として、物理の問題を考える際に何を使うかというと、主には運動方程式と作用・反作用の法則です。特に運動方程式を立てて、その微分方程式を解くということがメインの作業になります。

ここではこの動画で使う記法について説明します。

記法、英語ではnotationといいますが、これはあるものを表す時の書き方、ルールのことです。
例えばベクトルを表す際にはやと書くことがありますが、最初に統一されたルールを示して、後に混乱することがないようにするのが、今回の目的です。

まずベクトルについてですが、ここでは太字、、、等を用いて表します。
よく、原点から見た粒子の位置を表す際に位置ベクトルというものを使うのですが、これにはを用います。成分で書くと

となります。位置ベクトルというのは原点が変わってしまうと、それに合わせて変わってしまうものなので、原点としてどのような点をとっているかに注意する必要があります。粒子の位置が時間変化すると、この位置ベクトルも時間変化します。
また粒子の速度を表す速度ベクトルにはを用います。これは粒子の位置ベクトルを時間微分したものになります。

あまり使うことはありませんが、加速度ベクトルはを用いて表します。これは速度ベクトルの時間微分、位置ベクトルの時間の２階微分です。

運動量ベクトルはで表します。これは質量掛ける速度ベクトルです。

この他に重要なものとして、単位ベクトルがあります。これはで表します。例えばxyz軸があった時に、x軸方向の大きさ１のベクトルをx軸方向の単位ベクトルと呼び、と表します。y、zについても同様です。成分で書くと。



となります。

順番が前後してしますが、は時間を表します。

ここで説明した表記を用いて、これから説明をしていきたいと思います。