線積分のその３ではベクトル場の線積分を考えたいと思います。

ベクトル場の線積分として、よくある形は次のようなベクトル場と微小な経路との内積の線積分です。

内積の積分ですので、線積分の値はスカラー値になります。

もう１つ、たまにあるのが外積の線積分です。

外積と言うベクトル量の積分ですので、線積分の値はベクトル値になります。

実際に問題演習を行うことで、これらの具体的なイメージをつかむことができると思います。

最後に補足です。これまで積分する微少な長さとして、小文字のsを用いてと書いてきましたが、大文字のSになると今度は微小な面積を表すようになります。またの他に、、などの表記も用いられます。

線積分とは、ある経路に沿って積分を行うことでした。

今回はこのについて、もう少し詳しく説明したいと思います。積分とは微小なものの足し合わせなのですが、この微小なものを表しているのがです。線積分の場合は、経路を細かく分けて行ったときの1区間がに対応しています。このように考えると、というのは向きを持ったベクトル量であることが分かります。なので本来と書ける量なのです。線積分中のはこのの大きさを表しており、

と書くことができます。

線積分とは、経路を区切って行った時に、ある点でのの値掛ける足すことの次の点でのの値掛ける…とやっていったものです。これはなんら特別なことではなく、普通の積分の時とやっていることは同じなのです。これまで学んできた積分は、x軸に沿った線積分と言い換えることができます。線積分と言うと、もっと一般のグニャグニャ曲がった経路に沿った積分も含まれています。

今回はスカラー値に関する線積分を説明してきましたが、「線積分とは３」ではベクトル量の線積分について考えていきたいと思います。

ここでは線積分についてのイメージを話します。線積分とは”線”に沿って”積分”することです。積分というのは、高校数学のでもやったように、”微小なものの足し合わせ”です。この足し合わせを線に沿って行うのが、今回話す線積分です。

例えば点とを考え、それらをつなぐ経路をなんでも良いので考えます。このような経路をよく”“と表します。これはContourの略です。(Pathではありません。)Contourとは、等高線や輪郭といった意味を持ち、閉じた曲線に対して使われることが多いです。閉じた曲線というのは、始点と終点が一致しているような曲線のことです。一般の閉じていない曲線に対しても、を用いて表される慣習があります。

この経路に沿っての積分が、線積分です。線積分の値はどのような経路を辿るかに依って異なります。異なる経路、、を考えた時、それぞれの曲線に沿っての積分の値が異なるということです。

具体例を考えます。今xy平面を考え、この平面上で関数という関数を考えましょう。この関数を原点からある点までの経路に沿って線積分することを考えます。ここでは具体的に点をxy平面上の(1,1)という点にとります。

経路として、次の２つの経路とを考えます。
: 最初に原点からx軸に沿って点(1,0)まで進み、その後y方向に沿って点(1,1)まで進む経路。
: 最初に原点からy軸に沿って点(0,1)まで進み、その後x方向に沿って点(1,1)まで進む経路。

経路に沿っての線積分は次のように書かれます。

今回の場合はx軸に沿って移動している間は、その後y方向に進んでいる間はとなるのですが、細かく書いているとややこしくなるので、象徴的に”“と書きます。この積分を経路に沿って具体的に書き下すと以下のようになります。

ここでx方向に移動している間はy=0、y方向に移動している間はx=1となっていることに注意が必要です。さらに計算を進めると

となります。これが経路に沿っての線積分の結果です。

に沿っての線積分も同様に考えられます。

これが経路に沿っての線積分の結果です。このように始点と終点が一致していても、通る経路によって線積分の結果が異なってきます。なので線積分を書き表す際には、きちんとどのような経路における線積分かを指定する必要があります。

ここでは(ローテーション、回転)について説明します。はベクトル場に対して作用して次のように定義されます。

ここでとりあえず分かるのは、のx成分にはyとzが、y成分にはzとxが、z成分にはxとyが入っていることが分かります。これらがどのような組み合わせで出てくるかはとても覚えづらそうなのですが、これについては「ナブラ記号について」という動画で分かりやすい覚え方を説明します。

はベクトルに対してベクトルを返すものなのですが、これのイメージは次の通りです。(ローテーション、回転)はその名の通りベクトル場の回転具合を表します。例えば水の流れを表すベクトル場を考え、そこに浮かぶボールを考えましょう。ボールはベクトル場の向きに従って流れて行きますが、この時ボールには回転が加わるかもしれません。あるところで流れが強く、あるところで弱くといった状況ではボールがくるくる回りながら流れます。このボールの回り具合を表すのが、ベクトル場のローテーション、です。

回転、渦などいったものもベクトルで表現することができます。渦の乗っている平面に垂直な方向がそのベクトルの方向で、渦の強さがベクトルの大きさに対応します。

最後に補足なのですが、はなどとも書かれたりします。電磁気学をまとめたMaxwellはこの表記を用いて書いていたそうです。

ここでは電磁気学というものがどのような学問なのかということを、大雑把に説明したいと思います。

“電”は電場などを表します。電場は電荷があるとその周りに生じます。”磁”は磁場などを表します。磁場は電流があるとその周りに生じます。

電流というのは動いている電荷のことです。つまり電場は止まっている電荷から、磁場は動いている電荷から生成されます。電荷が止まっているか動いているかは観測者の見方に依って異なります。あるいは電荷と言う存在を、違う見方で見ている、ということもできます。従って、電場、磁場というものも、見かけは異なっていても本質的には同じものなのではないかと考えることができます。これは実はアインシュタインが特殊相対性理論で言っていることです。アインシュタインの特殊相対性理論の論文の題は「動いている物体の電磁気学」でした。

その内容はここまでに述べた通りです。電荷に対して静止した観測者から見ればもちろん電荷は止まって見え、動いている観測者から見れば電荷は電流に見えます。同じように、静止した観測者からは電場に見えていたものが、動いている観測者から見れば磁場に見えることがある、ということです。電場・磁場というのは単に見え方の違いであって、本質的には同じものである、ということをアインシュタインは論文の中で言っています。特殊相対性理論は、物体の動きだけではなくて電磁気学を含んだものになっており、電磁気学の話をする際には特殊相対性理論にもよく触れられます。特殊相対性理論から、電場と磁場は見た目が違うだけであって本質的には同じものなのだということが明らかになり、そのため電磁気学では電場と磁場が一緒に扱われます。

ここでは写像について話をしようと思います。写像は英語ではmapと呼ばれます。よくという記号を用いて

などと書かれます。簡単に行ってしまうと、高校までに習った関数を一般化したものが写像です。すなわち”関数”というものよりも広いものになります。高校までに習った関数はとる値がスカラー値でした。しかしながら”写像”はより広い場合、例えば、ベクトルが与えられればベクトルを返すような写像、というものを考えることができます。例を考えましょう。

あるベクトルの集合(ベクトル空間)からベクトル空間への写像を考えましょう。

この写像を用いるとの元であるベクトルからの元であるベクトルを与えることができます。

ベクトルではなく、ある集合を与えて集合を返す、という写像も考えることができます。例えば、というたくさんの集合の集まり、集合の集合からという集合の集合への写像を考えましょう。

この写像を用いるとの元である集合からの元である集合を与えることができます。これは具体的にはどのようなものなのかというと、例えばここで出てきた集合をクラスの男子の集合とします。そして彼らの家の集合をとすると、この写像は”人”と”家”を対応させる住所録のようなものになります。これが集合を与えて集合を返す写像の例です。

今回は線形代数学について話をします。線形代数学はベクトルと行列の学問です。このことを知らなかった私は、最初に線形代数を学んだ頃、何をやっているのか分かりにくく、戸惑いました。線形代数学は高校の数Cの延長だと思ってしまえば、少しは理解し易くなるかと思います。

まず、”線形代数学”という言葉がどのようにベクトル、行列などと関係しているか説明したいと思います。

代数学というのは、文字式等を用いて数の代わりに様々なものを扱う学問です(※)。また”線形”という言葉は英語では”linear”という言葉に対応します。これは、”直線的な”や”1次の”などといった意味があります。1次というは2つ以上の代数を掛けることがない、ということを表しています。例えばはという代数の２次の量です。こういった2次以上のものが出てこない、一次の代数を扱う学問が線形代数学です。

具体的に線形代数の言葉と、ベクトルや行列の言葉がどのように対応しているかを見てみましょう。
線形代数では”元”という言葉を用います。これは集合の中のある要素xという意味なのですが、線形代数で出て来る場合、これはベクトルだと思ってもらってよいかと思います。また”写像”という言葉もよく使われます。これは高校までに扱ってきた関数fのようなものですが、線形代数で出て来る場合、これは行列だと思ってもらってよいかと思います。
元ベクトル
写像行列

写像というのは、各元に対してある値を返すものです。行列も、あるベクトルに掛けられることで新たなベクトルを生成します。この点から、行列も写像、関数と同じような働きをすることが分かります。

ここまでざっくりと線形代数のイメージを説明してきましたが、このようにベクトル・行列のイメージを持っておくと、理解がしやすいかと思います。

(※)ただし現代的な代数学は必ずしも「数の代わり」ではありません。演算(実数ならば+-×÷)が定義された集合を扱う数学が、現代的な意味での「代数学」です。

今回は、ベクトルの外積を、レビ・チビタの記号を用いて考えてみたいと思います。
まず下準備として、ベクトルの表記を確認しておきましょう。ベクトルを成分で書く際には、よくアルファベットの添字を用いますが、ここでは数字の添字を用います。

外積の第i成分は、レビ・チビタの記号を用いて次のように書くことができます。

ここではの第１成分を計算して確かめてみましょう。

が値を持つのはj=2、k=3の場合、あるいはj=3、k=2の場合なので

となります。レビ・チビタ記号の定義より、、なので最終的に

となり、きちんと外積の形になっていることが分かりました。

このようにレビ・チビタ記号を用いて外積を表しておくと、ややこしい計算をとてもすっきりと書くことができます。これを実感してもらうために具体例を考えていきましょう。ベクトル解析では３つのベクトルの外積を計算することがあるのですが、これを素直にやろうと思うとかなり面倒です。ここでレビ・チビタ記号の出番です。外積の第i成分をレビ・チビタ記号を用いて書き下してみましょう。

ここで注目するべきは、が２つ出てきている点と、その添字kについて和がとられている点です。レビ・チビタ記号のところでやった２つのの積が２つのクロネッカーのの積に入れ変わる公式

を思い出すと

と書けることが分かります。あとはクロネッカーのの定義に従って計算して行くだけです。

第１項目はとの内積、第２項目はとの内積を含んでおり、これを内積記号を用いて書くと

となります。これによってベクトル解析の公式

が導かれます。見た目はややこしいことをやっているように見えましたが、実際に手を動かしてみると、そこまで複雑ではありません。１つ１つ成分でばらして計算するよりは遥かに簡単です。

外積をレビ・チビタ記号を用いて書くことの有用性が少しでも分かって頂けたでしょうか？

今回はベクトル解析の際に非常に役に立つ”レビ・チビタの記号”というものについて説明します。レビ・チビタというのはイタリアの数学者です。
レビ・チビタの記号はで書かれます。例えば次のように書かれます。

この、、は１、２、３のどれかをとります。

レビ・チビタの記号の性質を挙げていきます。

レビ・チビタ記号は、、の中に同じものがあれば０になります。例えば

となります。この場合はとなっています。同様に()などとなります。

定義として

として、この添字の並びを遇置換(偶数回の置換を行ったもの)して得られるものは1、奇置換(奇数回の置換を行ったもの)して得られたものは-1となります。例えば

となります。この場合”213″という並びは、”123″という並びから”1″と”2″を置換を1回行うことで得られるため、レビ・チビタ記号は-1を返します。また
となります。これは”231″という並びは、”213″という並びから”1″と”3″の置換1回、あるいはもとの”123″という並びから数字の置換２回で得られます。そのためレビ・チビタ記号は1を返します。1か-1を瞬時に見極めるには、1から順に右に数字を読んだ時に”123″となれば1、”132″となってしまう時には-1と覚えればよいでしょう。この時は、一番右の数字を読んだ次には一番左の数字に移動します。

レビ・チビタ記号をベクトル解析で使う際には、２つのレビ・チビタ記号を掛けた形のものがよく用いられます。例えば次のような形です。

ここで縮約のルールで、２度出てきている添字は全ての場合を足し合わせています。つまり

です。この形のレビ・チビタ記号は、実はクロネッカーのデルタを用いて次のように書けてしまいます。

添字i、jは１つ目のから、l、mは２つ目のから来ています。添字の順番は覚えづらいかもしれませんが、これには実際に数字を当てはめて確かめるのが良いでしょう。重要なことは”２つの=２つのの差”という形です。

では実際に添字に数字を当てはめてみましょう。具体例として次のものを考えます。

kについては和をとりますが、レビ・チビタ記号定義より、この項はk=3の時のみ値を持ちます。つまり

となります。との形は共に、から添字の遇置換で得られるので値として１をとります。すなわち

となります。この例から先ほどの式の添字の順番を確かめることができます。今回の場合i=l=1、j=m=2であり、結果が＋１となっていることから、の前の符号は＋となり、その逆にの前の符号はーとなることが確認できます。

以上、すこしややこしい話になってしまいましたが、レビ・チビタ記号のこれらの特性は、ベクトル解析、特に外積の計算の際に非常に役に立ちます。

今回は縮約というものについて話をします。縮約とは、アインシュタインが一般相対論を構築する際に考え、たただのルールのことです。ルールの内容は、”同じ添字が出てきたら足し合わせる”というものです。つまり、とでてきたら次のように解釈しなさいというルールです。

一般相対論では、このようにベクトルの各成分の積の和を考えることが多いのですが、その度に和の記号を書くのはとても面倒で、見た目がややこしくなってしまいます。縮約のルールはそのような煩雑さを解消するために決められたものです。今考えた例はベクトルとベクトルの内積でしたが、これらの外積も縮約を用いれば簡単に書くことができます。ベクトルとベクトルの外積の第i成分はレビ・チビタの記号ベクトルを用いて次のように書くことができます。

この例では、jとkの両方について1から3までの和をとれ、という意味になります。

慣れないうちはを省略せずに書いても良いと思いますが、縮約を用いれば式がとてもすっきりとします。この縮約のルールは物理の分野では一般的に認識されているものなので、テスト等でを省略して書いても、おそらく大丈夫だと思います。心配であれば、縮約の規則を用いて書く、と一言付け加えておけば大丈夫だと思います。