レヴィ・チビタの記号

今回はベクトル解析の際に非常に役に立つ”レビ・チビタの記号”というものについて説明します。レビ・チビタというのはイタリアの数学者です。
レビ・チビタの記号はepsilonで書かれます。例えば次のように書かれます。
epsilon_{ijk}
このijkは1、2、3のどれかをとります。

レビ・チビタの記号の性質を挙げていきます。

レビ・チビタ記号はijkの中に同じものがあれば0になります。例えば
epsilon_{112}=0
となります。この場合はi=j=1となっています。同様にepsilon_{133}=0(j=k=3)などとなります。

定義として
epsilon_{123}=1
として、この添字の並びを遇置換(偶数回の置換を行ったもの)して得られるものは1、奇置換(奇数回の置換を行ったもの)して得られたものは-1となります。例えば
epsilon_{213}=-1
となります。この場合”213″という並びは、”123″という並びから”1″と”2″を置換を1回行うことで得られるため、レビ・チビタ記号は-1を返します。またepsilon_{231}=1
となります。これは”231″という並びは、”213″という並びから”1″と”3″の置換1回、あるいはもとの”123″という並びから数字の置換2回で得られます。そのためレビ・チビタ記号は1を返します。1か-1を瞬時に見極めるには、1から順に右に数字を読んだ時に”123″となれば1、”132″となってしまう時には-1と覚えればよいでしょう。この時は、一番右の数字を読んだ次には一番左の数字に移動します。

レビ・チビタ記号をベクトル解析で使う際には、2つのレビ・チビタ記号を掛けた形のものがよく用いられます。例えば次のような形です。
epsilon_{ijk}epsilon_{klm}
ここで縮約のルールで、2度出てきている添字は全ての場合を足し合わせています。つまり
epsilon_{ijk}epsilon_{klm}=sum_{k=1}^{3}epsilon_{ijk}epsilon_{klm}
です。この形のレビ・チビタ記号は、実はクロネッカーのデルタdeltaを用いて次のように書けてしまいます。
epsilon_{ijk}epsilon_{klm}=sum_{k=1}^{3}epsilon_{ijk}epsilon_{klm}=delta_{il}delta_{jm}-delta_{im}delta_{jl}
添字i、jは1つ目のepsilonから、l、mは2つ目のepsilonから来ています。添字の順番は覚えづらいかもしれませんが、これには実際に数字を当てはめて確かめるのが良いでしょう。重要なことは”2つのepsilon=2つのdeltaの差”という形です。

では実際に添字に数字を当てはめてみましょう。具体例として次のものを考えます。
epsilon_{12k}epsilon_{k12}
kについては和をとりますが、レビ・チビタ記号定義より、この項はk=3の時のみ値を持ちます。つまり
epsilon_{12k}epsilon_{k12}=epsilon_{123}epsilon_{312}
となります。epsilon_{123}epsilon_{312}の形は共に、epsilon_{123}から添字の遇置換で得られるので値として1をとります。すなわち
epsilon_{12k}epsilon_{k12}=epsilon_{123}epsilon_{312}=1
となります。この例から先ほどの式の添字の順番を確かめることができます。今回の場合i=l=1、j=m=2であり、結果が+1となっていることから、delta_{il}delta_{jm}の前の符号は+となり、その逆にdelta_{im}delta_{jl}の前の符号はーとなることが確認できます。

以上、すこしややこしい話になってしまいましたが、レビ・チビタ記号のこれらの特性は、ベクトル解析、特に外積の計算の際に非常に役に立ちます。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です


2 − 一 =

次のHTML タグと属性が使えます: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>