偏微分とは

今回は偏微分について話をしようと思います。”偏った”微分と書き、英語では partial derivative といいます。”derivative”が微分という意味で、”partial”すなわち部分的に微分するという意味です。

偏微分するとは何をすることなのか見るために、まず具体例を考えます。偏微分を表す記号としては、partialを用います。”デル”などと読んだりします。これを通常の微分の時のように用いて、ある関数、例えばx^3 y^2xについての偏微分は次のように書かれます。
frac{partial}{partial x}x^3y^2

xで偏微分を行う際には、x以外の変数を定数だと見なします。xだけを変数と思って微分しなさいということです。今回の場合だと、y^2は定数だと思って、xのみについて微分を行いなさい、ということです。すなわち
frac{partial}{partial x}x^3y^2=3x^2y^2

同じ関数を今度はyについて偏微分することを考えましょう。
frac{partial}{partial y}x^3y^2
この場合はx^3を定数と見なして、変数yについての微分を行います。すなわち
frac{partial}{partial y}x^3y^2=2x^3y
となります。

例えば同じ関数をzで偏微分することを考えた際には、xyも定数と見なすので、答えは0になります。
frac{partial}{partial z}x^3y^2=0

関数f(x,y,z)の偏微分の書き方についてなのですが、これには色々な書き方があります。最もオーソドックスなのは
frac{partial}{partial x}f(x,y,z)
と書くやり方です。また次のような書き方もされます。
left(frac{partial f}{partial x}right)_{y,z}
添字y,zは、変数y,zは定数と見なしましょう、という意味です。これらも省略されて、
frac{partial f}{partial x}
と書かれることも多くあります。またさらに簡略化された別の書き方とて、f_xpartial_x fと書くこともあります。添字xxについての偏微分という意味を表します。
frac{partial}{partial x}f(x,y,z)=left(frac{partial f}{partial x}right)_{f,z}=frac{partial f}{partial x}=f_x=partial_x f
これらは全て、xに関する偏微分、すなわちx以外の変数を定数と見なして、xで微分せよという意味を表します。

通常の微分と同様に、2階以上の偏微分というものも存在します。次のように書かれます。
frac{partial^2 f}{partial x^2}=frac{partial }{partial x}frac{partial f}{partial x}=f_{xx}=partial^2_x f

偏微分は、様々な変数に関して行うことが可能です。例えば、関数f(x,y,z)yについて偏微分したものを、さらにxについて偏微分する場合、次のように書きます。
frac{partial^2 f}{partial x partial y}=frac{partial}{partial x}frac{partial f}{partial y}

ここで大事な点があります。2階の偏微分
frac{partial^2 f}{partial x partial y}, frac{partial^2 f}{partial y partial x}
が共に”連続”であれば、
frac{partial^2 f}{partial x partial y}=frac{partial^2 f}{partial y partial x}
が成り立ちます。この時は偏微分を行った結果が、偏微分を行う順序に依らなくなります。物理で扱うたいていの関数ではこれが成り立つので、覚えておくと良いでしょう。

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