写像とは

ここでは写像について話をしようと思います。写像は英語ではmapと呼ばれます。よくfという記号を用いて
f:A \rightarrow B
などと書かれます。簡単に行ってしまうと、高校までに習った関数f(x)を一般化したものが写像です。すなわち”関数”というものよりも広いものになります。高校までに習った関数f(x)はとる値がスカラー値でした。しかしながら”写像”はより広い場合、例えば、ベクトルが与えられればベクトルを返すような写像、というものを考えることができます。例を考えましょう。

あるベクトルの集合(ベクトル空間)Vからベクトル空間Wへの写像fを考えましょう。
f:V \rightarrow W
この写像を用いるとVの元であるベクトル{bf v}からWの元であるベクトルf({bf v})={bf w}を与えることができます。

ベクトルではなく、ある集合を与えて集合を返す、という写像も考えることができます。例えば、Uというたくさんの集合の集まり、集合の集合からVという集合の集合への写像を考えましょう。
f:U \rightarrow V
この写像を用いるとUの元である集合AからVの元である集合f(A)=Bを与えることができます。これは具体的にはどのようなものなのかというと、例えばここで出てきた集合Aをクラスの男子の集合とします。そして彼らの家の集合をBとすると、この写像は”人”と”家”を対応させる住所録のようなものになります。これが集合を与えて集合を返す写像の例です。

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