外積とレヴィ・チビタ記号

今回は、ベクトルの外積{bf A}times {bf B}を、レビ・チビタの記号を用いて考えてみたいと思います。
まず下準備として、ベクトルの表記を確認しておきましょう。ベクトルを成分で書く際には、よくアルファベットの添字を用いますが、ここでは数字の添字を用います。
{bf A}=(A_1,A_2,A_3)

外積{bf A}times {bf B}の第i成分は、レビ・チビタの記号を用いて次のように書くことができます。
({bf A}times {bf B})_i=sum_{j,k}epsilon_{ijk}A_j B_k
ここでは{bf A}times {bf B}の第1成分を計算して確かめてみましょう。
({bf A}times {bf B})_1=sum_{j,k}epsilon_{1jk}A_j B_k
epsilonが値を持つのはj=2、k=3の場合、あるいはj=3、k=2の場合なので
({bf A}times {bf B})_1=sum_{j,k}epsilon_{1jk}A_j B_k=epsilon_{123}A_2 B_3+epsilon_{132}A_3 B_2
となります。レビ・チビタ記号の定義より、epsilon_{123}=1epsilon_{132}=-1なので最終的に
({bf A}times {bf B})_1=A_2 B_3-A_3 B_2~(=A_y B_z-A_z By)
となり、きちんと外積の形になっていることが分かりました。

このようにレビ・チビタ記号を用いて外積を表しておくと、ややこしい計算をとてもすっきりと書くことができます。これを実感してもらうために具体例を考えていきましょう。ベクトル解析では3つのベクトルの外積{bf A}times ({bf B} times {bf C})を計算することがあるのですが、これを素直にやろうと思うとかなり面倒です。ここでレビ・チビタ記号の出番です。外積{bf A}times ({bf B} times {bf C})の第i成分をレビ・チビタ記号を用いて書き下してみましょう。
[{bf A}times ({bf B} times {bf C})]_i=sum_{j,k}epsilon_{ijk}A_j ({bf B}times{bf c})_k=sum_{j,k}epsilon_{ijk}A_j sum_{lm}epsilon_{klm}B_l C_m
ここで注目するべきは、epsilonが2つ出てきている点と、その添字kについて和がとられている点です。レビ・チビタ記号のところでやった2つのepsilonの積が2つのクロネッカーのdeltaの積に入れ変わる公式
sum_k epsilon_{ijk}epsilon_{klm}=delta_{il}delta_{jm}-delta_{im}delta_{jl}
を思い出すと
[{bf A}times ({bf B} times {bf C})]_i=sum_{jlm}(delta_{il}delta_{jm}-delta_{im}delta_{jl})A_j B_l C_m
と書けることが分かります。あとはクロネッカーのdeltaの定義に従って計算して行くだけです。
[{bf A}times ({bf B} times {bf C})]_i=sum_{jlm}(delta_{il}delta_{jm}-delta_{im}delta_{jl})A_j B_l C_m=B_isum_{j}A_jC_j-C_isum_{j}A_jB_j
第1項目は{bf A}{bf C}の内積、第2項目は{bf A}{bf B}の内積を含んでおり、これを内積記号を用いて書くと
[{bf A}times ({bf B} times {bf C})]_i=B_isum_{j}A_jC_J-C_isum_{j}A_jB_j=[{bf B}({bf A}cdot{bf C})-{bf C}({bf A}cdot{bf C})]_i
となります。これによってベクトル解析の公式
{bf A}times ({bf B} times {bf C})={bf B}({bf A}cdot{bf C})-{bf C}({bf A}cdot{bf C})
が導かれます。見た目はややこしいことをやっているように見えましたが、実際に手を動かしてみると、そこまで複雑ではありません。1つ1つ成分でばらして計算するよりは遥かに簡単です。

外積をレビ・チビタ記号を用いて書くことの有用性が少しでも分かって頂けたでしょうか?

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