線積分とは3

線積分のその3ではベクトル場{bf B}(x,y,z)の線積分を考えたいと思います。

ベクトル場の線積分として、よくある形は次のようなベクトル場と微小な経路との内積の線積分です。
int_C {bf B}cdot d{bf s}
内積の積分ですので、線積分の値はスカラー値になります。

もう1つ、たまにあるのが外積の線積分です。
int_C {bf B}times d{bf s}
外積と言うベクトル量の積分ですので、線積分の値はベクトル値になります。

実際に問題演習を行うことで、これらの具体的なイメージをつかむことができると思います。

最後に補足です。これまで積分する微少な長さとして、小文字のsを用いてd{bf s}と書いてきましたが、大文字のSになると今度は微小な面積を表すようになります。またd{bf s}の他にd{bf l}d{bf r}d{bf x}などの表記も用いられます。

線積分とは3」への1件のフィードバック

  1. sa_k

    おもしろいですね。

    大学には進みませんでしたが、最近趣味で流体力学というものに興味を持ってしまった者です。が、どうしても大学数学のベクトル解析(grad,div,rot,ストークスの定理)や線積分が避けられないようで、特にベクトル量の線積分が完全に意味不明で諦めていました。

    ここの線積分の解説(1~3)を拝見させていただいて、別のサイトや本の解説も読んでみて、線積分が経路に沿った積分(衝立のような形の積分)であること、特に高さが1と決まっていれば経路の長さになるというイメージ、それに内積と外積の線積分も、何となくですが分かる気がします。

    もう少し頑張ってみようと思いました。ありがとうございます。

    返信

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