縮約について

今回は縮約というものについて話をします。縮約とは、アインシュタインが一般相対論を構築する際に考え、たただのルールのことです。ルールの内容は、”同じ添字が出てきたら足し合わせる”というものです。つまり、A_i B_i,,(i=1,2,3)とでてきたら次のように解釈しなさいというルールです。
A_i B_i=A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3

一般相対論では、このようにベクトルの各成分の積の和を考えることが多いのですが、その度に和の記号sumを書くのはとても面倒で、見た目がややこしくなってしまいます。縮約のルールはそのような煩雑さを解消するために決められたものです。今考えた例はベクトル{bf A}とベクトル{bf B}の内積でしたが、これらの外積も縮約を用いれば簡単に書くことができます。ベクトル{bf A}とベクトル{bf B}の外積の第i成分はレビ・チビタの記号ベクトルepsilonを用いて次のように書くことができます。
({bf A}times{bf B})_i=epsilon_{ijk}A_j B_k
この例では、jとkの両方について1から3までの和をとれ、という意味になります。
epsilon_{ijk}A_j B_k=sum_{j,k}epsilon_{ijk}A_j B_k

慣れないうちはsumを省略せずに書いても良いと思いますが、縮約を用いれば式がとてもすっきりとします。この縮約のルールは物理の分野では一般的に認識されているものなので、テスト等でsumを省略して書いても、おそらく大丈夫だと思います。心配であれば、縮約の規則を用いて書く、と一言付け加えておけば大丈夫だと思います。

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