角運動量について

角運動量についての話をします。物体の角運動量はよく{bf L}を用いて書かれ、位置ベクトルと運動量ベクトルの外積で定義されます。
{bf L}={bf r}times{bf p}
外積ですので、角運動量の方向は位置ベクトルと運動量ベクトルに直行する方向になります。定義に位置ベクトルが含まれているため、角運動量は原点のとり方が変わると、それに伴って角運動量も変わります。

角運動量についてはその保存則を知っておくと便利です。これを導くには、角運動量の時間変化を計算します。角運動量の定義と、外積の微分の演算を行うことで、
frac{d{bf L}}{dt}=frac{d}{dt}({bf r}times{bf p})=frac{d{bf r}}{dt}times{bf p}+{bf r}timesfrac{d{bf p}}{dt}
最左辺の第1項目は速度ベクトルと運動量ベクトルの定義から{bf v}times(m{bf v})となり、平行なベクトル同士の外積は0になるので、この項は消えます。また第2項目に運動方程式を用いると、次のような式になります。
frac{d{bf L}}{dt}=={bf r}times{bf F}
すなわち、角運動量の時間変化は、位置ベクトルと力の外積で書けるということです。この位置ベクトルと力の外積を”力のモーメント”などと呼びます。力のモーメントが0の時には角運動量が変化しないことになります。つまり、位置ベクトルと平行な方向に力が働いている場合には力のモーメントが0になって、角運動量は一定になることになります。

例えば、原点に重力の源となる物体があり、その周りを運動する物体を考えます。この場合重力の性質上、位置ベクトルと平行になりますので、常に角運動量が保存することになります。

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